Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} 2x+2t & \text{si } x<-1\\[4pt] t+1 & \text{si } -1\le x\le 1\\[4pt] -x^3+4x^2+3x-1 & \text{si } x>1 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x=-1$? (0,5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,\infty)$. (0,5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua } \boldsymbol{x=-1}\textbf{? (0,5 puntos)}$

En $x=-1$ empalman el primer trozo y el tramo constante, así que imponemos que los valores laterales coincidan.

$\lim_{x\to -1^-}f(x)=2\cdot(-1)+2t=-2+2t$

$f(-1)=t+1$

$-2+2t=t+1 \Rightarrow t=3$

La función es continua en $x=-1$ para $t=3$.

$\textbf{b) Calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(1,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el tercer trozo, que no depende del parámetro:

$f(x)=-x^3+4x^2+3x-1$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=-3x^2+8x+3$

$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2-8x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+36}}{6}=\dfrac{8\pm 10}{6}$

$\begin{cases} x=3\\ x=-\dfrac{1}{3} \end{cases}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al intervalo $(1,\infty)$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$f''(x)=-6x+8 \Rightarrow f''(3)=-10<0$

Al ser negativa, en $x=3$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(3)=-27+36+9-1=17$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(3,17)$ y ningún mínimo en ese intervalo.

$\textbf{c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(1,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=-3x^2+8x+3$, que es una parábola abierta hacia abajo con raíces $-\frac{1}{3}$ y 3.

$f'(2)=-12+16+3=7>0,\qquad f'(4)=-48+32+3=-13<0$



La función crece en $(1,3)$ y decrece en $(3,+\infty)$.