Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

El número de socios de una protectora de animales durante los cinco primeros años de su existencia viene dado por la siguiente función $P(x)=x^3-6x^2+9x+4$ con $x=$ años y $1\le x\le 5$.

a) ¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye? (0,5 puntos)

b) ¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son? (0,75 puntos)

c) ¿En qué año son menos socios y cuántos hay? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye? (0,5 puntos)}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$P'(x)=3x^2-12x+9$

$P'(x)=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1\\ x=3 \end{cases}$

El valor $x=1$ es el extremo izquierdo del intervalo de estudio, así que dentro de $[1,5]$ el único punto que separa tramos es $x=3$. Estudiamos el signo de la derivada a cada lado:

$P'(2)=12-24+9=-3<0,\qquad P'(4)=48-48+9=9>0$



El número de socios disminuye durante los dos primeros años, $(1,3)$, y aumenta a partir del tercero, $(3,5)$.

$\textbf{b) ¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son? (0,75 puntos)}$

Como la función decrece y luego crece, el máximo absoluto del intervalo cerrado está en uno de los extremos. Valoramos los tres puntos que importan:

$P(1)=1-6+9+4=8$

$P(3)=27-54+27+4=4$

$P(5)=125-150+45+4=24$

El mayor número de socios se alcanza en el quinto año, con 24 socios.

$\textbf{c) ¿En qué año son menos socios y cuántos hay? (0,75 puntos)}$

De los tres valores anteriores el más pequeño es el del punto crítico, que es donde la función pasa de decrecer a crecer. Lo confirmamos con la segunda derivada:

$P''(x)=6x-12 \Rightarrow P''(3)=6>0$

Al ser positiva, en $x=3$ hay un mínimo, y además es el mínimo absoluto del intervalo.

El menor número de socios se da en el tercer año, con 4 socios.