Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} (x+t+1)^2 & \text{si } x<-1\\[4pt] 1 & \text{si } x=-1\\[4pt] -x^2+(t+2)x+5 & \text{si } x>-1 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x=-1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1,\infty)$. (0,5 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1,\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua } \boldsymbol{x=-1}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Aquí la función está definida aparte en el propio punto, así que los dos límites laterales tienen que coincidir además con ese valor, que es 1.

$\lim_{x\to -1^-}f(x)=(-1+t+1)^2=t^2$

$\lim_{x\to -1^+}f(x)=-1-(t+2)+5=2-t$

Igualamos cada uno de ellos a $f(-1)=1$:

$t^2=1 \Rightarrow t=\pm 1$

$2-t=1 \Rightarrow t=1$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $t=1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(-1,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el tercer trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=-x^2+2x+5$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=-2x+2$

$f'(x)=0 \Rightarrow -2x+2=0 \Rightarrow x=1$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=-2<0$

Al ser negativa, en $x=1$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(1)=-1+2+5=6$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(1,6)$ y ningún mínimo en ese intervalo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(-1,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=-2x+2$, que es una recta decreciente que se anula en $x=1$.

$f'(0)=2>0,\qquad f'(2)=-2<0$



La función crece en $(-1,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$.