Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El número de libros que lee un estudiante de Bachillerato al año sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=6\ \text{libros}^2$. Se ha tomado una muestra de 10 estudiantes de Bachillerato y el número de libros que han leído han sido 4, 8, 2, 9, 3, 7, 5, 6, 7 y 4 libros.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del 95,96 %? (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma=\sqrt{6}$ libros, y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{4+8+2+9+3+7+5+6+7+4}{10}=\dfrac{55}{10}=5{,}5\ \text{libros}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\approx 1{,}6809$

$IC=(5{,}5-1{,}6809\,;\,5{,}5+1{,}6809)=(3{,}8191\,;\,7{,}1809)$

Con una confianza del 97 %, el número medio de libros leídos al año está entre 3,8191 y 7,1809.

$\textbf{b) Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, para que la amplitud aumente hay que disminuir el tamaño de la muestra.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del 95,96 \%? (0,5 puntos)}$

Con el nuevo nivel de confianza, $\alpha=0{,}0404$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0202=0{,}9798 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$

$E=2{,}05\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{64}}=\dfrac{2{,}05\sqrt{6}}{8}\approx 0{,}6277$

El error máximo admisible sería de 0,6277 libros.