Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones $A\cdot X=B$ y $B=X\cdot A$. ¿De qué propiedad estamos hablando? (0,5 puntos)

b) Si la dimensión de la matriz $M$ es $3\times m$, la dimensión de la matriz $N$ es $2\times 5$ y $P$ es una matriz cuadrada de orden $p$. ¿Qué valores han de tomar $m$ y $p$ para que se pueda realizar el producto $M\cdot N\cdot P$? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante? (0,5 puntos)

c) Para las matrices $C=\begin{pmatrix}-4&11\\1&-3\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}$ y $E=\begin{pmatrix}9&-3\\-9&3\end{pmatrix}$ resuelve la ecuación $X\cdot C-D^2=\frac{1}{3}E^{T}$. (1 punto)

$\textbf{a) Dadas dos matrices cuadradas } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones } \boldsymbol{A\cdot X=B}\textbf{ y } \boldsymbol{B=X\cdot A}\textbf{. ¿De qué propiedad estamos hablando? (0,5 puntos)}$

En las dos ecuaciones hay que despejar $X$ multiplicando por $A^{-1}$, pero el lado por el que se multiplica no es el mismo, porque la incógnita está a la derecha en un caso y a la izquierda en el otro.

En la primera se multiplica por la izquierda:

$A\cdot X=B \Rightarrow A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot B$

En la segunda, por la derecha:

$X\cdot A=B \Rightarrow X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1} \Rightarrow X=B\cdot A^{-1}$

En general $A^{-1}\cdot B\neq B\cdot A^{-1}$, así que las dos ecuaciones no dan el mismo resultado. Estamos hablando de que el producto de matrices no es conmutativo.

$\textbf{b) Si la dimensión de la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ es } \boldsymbol{3\times m}\textbf{, la dimensión de la matriz } \boldsymbol{N}\textbf{ es } \boldsymbol{2\times 5}\textbf{ y } \boldsymbol{P}\textbf{ es una matriz cuadrada de orden } \boldsymbol{p}\textbf{. ¿Qué valores han de tomar } \boldsymbol{m}\textbf{ y } \boldsymbol{p}\textbf{ para que se pueda realizar el producto } \boldsymbol{M\cdot N\cdot P}\textbf{? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante? (0,5 puntos)}$

Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.

Para poder hacer $M\cdot N$, las columnas de $M$ han de ser las filas de $N$:

$m=2 \Rightarrow M\cdot N \text{ es de dimensión } 3\times 5$

Y para poder multiplicar ese resultado por $P$, las columnas del producto han de ser las filas de $P$:

$p=5$

Con $m=2$ y $p=5$ el producto se puede hacer, y la matriz resultante es de dimensión $3\times 5$.

$\textbf{c) Para las matrices } \boldsymbol{C=\begin{pmatrix}-4&11\\1&-3\end{pmatrix}}\textbf{, } \boldsymbol{D=\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{E=\begin{pmatrix}9&-3\\-9&3\end{pmatrix}}\textbf{ resuelve la ecuación } \boldsymbol{X\cdot C-D^2=\frac{1}{3}E^{T}}\textbf{. (1 punto)}$

Como la incógnita está multiplicada por la derecha, despejamos multiplicando por $C^{-1}$ por ese mismo lado:

$X\cdot C=\dfrac{1}{3}E^{T}+D^2 \Rightarrow X=\left(\dfrac{1}{3}E^{T}+D^2\right)\cdot C^{-1}$

Calculamos las piezas del paréntesis:

$\dfrac{1}{3}E^{T}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}9&-9\\-3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-3\\-1&1\end{pmatrix}$

$D^2=\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&0\\-7&4\end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{3}E^{T}+D^2=\begin{pmatrix}28&-3\\-8&5\end{pmatrix}$

La matriz $C$ tiene inversa porque su determinante no es nulo:

$|C|=12-11=1 \Rightarrow C^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-11\\-1&-4\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}28&-3\\-8&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3&-11\\-1&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-84+3&-308+12\\24-5&88-20\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-81&-296\\19&68\end{pmatrix}$