Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un programa de televisión hay tres secciones: magia, humor y noticias. La sección de humor dura cinco minutos más que la de magia. El tiempo ocupado por la magia y el humor es en total la cuarta parte del dedicado a noticias y la duración total de programa es de 1 hora y 55 minutos.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto tiempo se dedica a cada una de las tres secciones del programa. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto tiempo se dedica a cada una de las tres secciones del programa. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a los minutos de magia, $y$ a los de humor y $z$ a los de noticias.

El humor dura cinco minutos más que la magia:

$y=x+5$

El tiempo de magia y humor juntos es la cuarta parte del de noticias:

$x+y=\dfrac{z}{4}$

Y el programa dura 1 hora y 55 minutos, es decir, 115 minutos:

$x+y+z=115$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} y=x+5\\ x+y=\dfrac{z}{4}\\ x+y+z=115 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

De la segunda ecuación se despeja $z=4(x+y)$, y lo sustituimos en la tercera:

$x+y+4(x+y)=115 \Rightarrow 5(x+y)=115 \Rightarrow x+y=23$

Con ello ya tenemos la sección de noticias:

$z=4\cdot 23=92$

Y sustituyendo $y=x+5$ en $x+y=23$:

$x+x+5=23 \Rightarrow 2x=18 \Rightarrow x=9 \Rightarrow y=14$

Comprobamos que $9+14+92=115$ minutos, que son la hora y 55 minutos del programa.

El programa dedica 9 minutos a la magia, 14 al humor y 92 a las noticias.