Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El número de pacientes que se atienden en un centro de salud a la semana sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=50$ pacientes. Se ha tomado una muestra aleatoria de 25 semanas y se ha registrado el número de pacientes atendidos, proporcionando una media de 322 pacientes.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0,5 puntos)

c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99 %? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del 95 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=25$, $\bar{x}=322$ pacientes y $\sigma=50$ pacientes.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{50}{\sqrt{25}}=1{,}96\cdot 10=19{,}6$

$IC=(322-19{,}6\,;\,322+19{,}6)=(302{,}4\,;\,341{,}6)$

Con una confianza del 95 %, el número medio de pacientes atendidos a la semana está entre 302,4 y 341,6.

$\textbf{b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ está en el denominador, al aumentar el tamaño de la muestra la amplitud disminuye: el intervalo se estrecha y la estimación gana precisión.

$\textbf{c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99 \%? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}99$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}005=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

$E=2{,}575\cdot\dfrac{50}{5}=25{,}75$

$IC=(322-25{,}75\,;\,322+25{,}75)=(296{,}25\,;\,347{,}75)$

Como 330 pertenece al intervalo, sí se puede aceptar que la media de pacientes atendidos a la semana sea de 330 con un nivel de confianza del 99 %.