Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La función $f(x)=ax^4+bx^2+c$ tiene un mínimo en el punto $(-1,0)$ y corta al eje $OY$ en el punto de ordenada $y=1$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^4+bx^2+c}\textbf{ tiene un mínimo en el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ y corta al eje } \boldsymbol{OY}\textbf{ en el punto de ordenada } \boldsymbol{y=1}\textbf{. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Empezamos por la condición más directa. Cortar al eje $OY$ en la ordenada 1 significa que la función pasa por $(0,1)$:

$f(0)=c=1$

Que haya un mínimo en $(-1,0)$ obliga a que la función pase por ese punto y a que allí se anule la derivada. De lo primero:

$f(-1)=a+b+c=0 \Rightarrow a+b+1=0 \Rightarrow a+b=-1$

Y de lo segundo, con

$f'(x)=4ax^3+2bx$

$f'(-1)=-4a-2b=0 \Rightarrow 2a+b=0 \Rightarrow b=-2a$

Sustituimos en la penúltima ecuación:

$a-2a=-1 \Rightarrow -a=-1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow b=-2$

Los parámetros son $a=1$, $b=-2$ y $c=1$, de modo que la función es $f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$. Escrita así se ve que nunca es negativa y que se anula en $x=-1$, luego ese punto es efectivamente un mínimo.