Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} 2x-4 & \text{si } x\le c\\[4pt] -(x-3)^2+2 & \text{si } x>c \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x=c$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $c=1$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{c}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=c}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en el punto de empalme.

$2c-4=-(c-3)^2+2$

Desarrollamos el cuadrado y agrupamos:

$2c-4=-c^2+6c-9+2 \Rightarrow c^2-4c+3=0$

$c=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} c=1\\ c=3 \end{cases}$

La función es continua en el punto de empalme para $c=1$ y para $c=3$.

$\textbf{b) Representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{c=1}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $c=1$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} 2x-4 & \text{si } x\le 1\\ -(x-3)^2+2 & \text{si } x>1 \end{cases}$

El primer trozo es una recta de pendiente 2 que corta al eje de ordenadas en $-4$ y termina en

$f(1)=2-4=-2$

El segundo es una parábola abierta hacia abajo con vértice en $(3,2)$, que arranca justo en ese mismo valor:

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=-(1-3)^2+2=-2$

Por eso con $c=1$, que es uno de los valores del apartado anterior, la gráfica se dibuja de un solo trazo. Otros puntos que ayudan a situarla:

$f(5)=-(5-3)^2+2=-2,\qquad f(6)=-(6-3)^2+2=-7$



La función crece a lo largo de la recta hasta el punto $(1,-2)$, sigue subiendo por la parábola hasta el máximo $(3,2)$ y a partir de ahí decrece.