Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La caja de bombones que compro cuesta 51 euros y contiene 12 bombones de chocolate negro, 6 de chocolate con leche y 6 de chocolate blanco. Cada bombón de chocolate negro cuesta un euro más que los de chocolate con leche y estos últimos cuestan 50 céntimos menos que los de chocolate blanco.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada tipo de bombón. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada tipo de bombón. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ al precio en euros de un bombón de chocolate negro, $y$ al de uno de chocolate con leche y $z$ al de uno de chocolate blanco.

La caja lleva 12 bombones de negro, 6 de leche y 6 de blanco, y cuesta 51 euros:

$12x+6y+6z=51$

Cada bombón de negro cuesta un euro más que uno de leche:

$x=y+1$

Y los de leche cuestan 50 céntimos menos que los de blanco:

$y=z-0{,}5$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} 12x+6y+6z=51\\ x=y+1\\ y=z-0{,}5 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

De las dos últimas ecuaciones despejamos $x$ y $z$ en función de $y$:

$x=y+1,\qquad z=y+0{,}5$

Sustituimos en la primera ecuación:

$12(y+1)+6y+6(y+0{,}5)=51$

$12y+12+6y+6y+3=51 \Rightarrow 24y=36 \Rightarrow y=1{,}5$

$x=1{,}5+1=2{,}5,\qquad z=1{,}5+0{,}5=2$

Comprobamos que $12\cdot 2{,}5+6\cdot 1{,}5+6\cdot 2=30+9+12=51$ euros.

Cada bombón de chocolate negro cuesta 2,50 €, cada uno de chocolate con leche 1,50 € y cada uno de chocolate blanco 2 €.