Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un fabricante comercializa 2 modelos de zapatillas para montaña, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 28 euros por par y otro para hombre con un beneficio por cada par de 30 euros. El próximo mes tiene que fabricar entre 100 y 600 pares de zapatillas de hombre y un mínimo de 400 pares de mujer. Además solamente puede fabricar un máximo de 1200 pares de zapatillas.

a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)

b) Determina cuántos pares de zapatillas de cada modelo debe fabricar para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de pares de zapatillas de mujer e $y$ al de pares de hombre que se fabrican el próximo mes.

La función objetivo es el beneficio, que se quiere hacer máximo:

$B(x,y)=28x+30y$

De las zapatillas de hombre hay que fabricar entre 100 y 600 pares:

$100\le y\le 600$

De las de mujer, un mínimo de 400 pares:

$x\ge 400$

Y en total no se pueden pasar de 1200 pares:

$x+y\le 1200$

Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\le 1200\\ x\ge 400\\ 100\le y\le 600 \end{cases}$

El recinto es la zona coloreada, limitada por las cuatro rectas.



$\textbf{b) Determina cuántos pares de zapatillas de cada modelo debe fabricar para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} x=400\\ y=100 \end{cases} \Rightarrow A(400,100)$

$\begin{cases} x+y=1200\\ y=100 \end{cases} \Rightarrow B(1100,100)$

$\begin{cases} x+y=1200\\ y=600 \end{cases} \Rightarrow C(600,600)$

$\begin{cases} x=400\\ y=600 \end{cases} \Rightarrow D(400,600)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal valoramos el beneficio en los cuatro:

$B(400,100)=11200+3000=14200\ \text{€}$

$B(1100,100)=30800+3000=33800\ \text{€}$

$B(600,600)=16800+18000=34800\ \text{€}$

$B(400,600)=11200+18000=29200\ \text{€}$

El beneficio máximo, 34800 €, se consigue fabricando 600 pares de zapatillas de mujer y 600 pares de hombre, agotando los 1200 pares que se pueden fabricar.