Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El consumo de agua, en $\text{dm}^3$, de una urbanización durante 6 horas viene reflejado por la función $C(x)=x^3-12x^2+45x$ siendo $x=$ el tiempo medido en horas y $0\le x\le 6$.

a) ¿En qué momentos se produjo el mayor consumo y a cuánto ascendió? (1,25 puntos)

b) ¿En qué intervalo de tiempo disminuyó el consumo de agua? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿En qué momentos se produjo el mayor consumo y a cuánto ascendió? (1,25 puntos)}$

Buscamos los puntos críticos derivando e igualando a cero.

$C'(x)=3x^2-24x+45$

$C'(x)=0 \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}=\dfrac{8\pm 2}{2}$

$\begin{cases} x=3\\ x=5 \end{cases}$

Los dos pertenecen al intervalo $[0,6]$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en cada uno:

$C''(x)=6x-24$

$C''(3)=-6<0,\qquad C''(5)=6>0$

Luego en $x=3$ hay un máximo relativo y en $x=5$ un mínimo relativo. Como el intervalo es cerrado, el máximo absoluto puede estar también en un extremo, así que valoramos los cuatro puntos:

$C(0)=0,\qquad C(3)=27-108+135=54$

$C(5)=125-300+225=50,\qquad C(6)=216-432+270=54$

El mayor consumo, $54\ \text{dm}^3$, se alcanza en dos momentos: a las 3 horas y a las 6 horas.

$\textbf{b) ¿En qué intervalo de tiempo disminuyó el consumo de agua? (0,75 puntos)}$

Estudiamos el signo de $C'(x)=3x^2-24x+45$, que es una parábola abierta hacia arriba con raíces 3 y 5, tomando un punto de cada tramo:

$C'(1)=3-24+45=24>0$

$C'(4)=48-96+45=-3<0$



El consumo de agua disminuyó entre la tercera y la quinta hora, es decir, en el intervalo $(3,5)$.