Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x\le c\\[4pt] 6x+3 & \text{si } x>c \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x=c$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $c=0$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{c}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=c}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en el punto de empalme.

$(c+2)^2=6c+3 \Rightarrow c^2+4c+4=6c+3 \Rightarrow c^2-2c+1=0$

El primer miembro es un cuadrado perfecto:

$(c-1)^2=0 \Rightarrow c=1$

La función es continua en $x=c$ únicamente para $c=1$, que es una raíz doble.

$\textbf{b) Representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{c=0}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $c=0$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x\le 0\\ 6x+3 & \text{si } x>0 \end{cases}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(-2,0)$, que termina en

$f(0)=4$

El segundo trozo es una recta de pendiente 6 que arranca en

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=3$

Como $c=0$ no es el valor del apartado anterior, la función no es continua en $x=0$: allí vale 4 y la rama de la derecha arranca en 3. El círculo hueco marca el valor que la recta no llega a tomar.



La gráfica desciende por la rama izquierda de la parábola hasta el vértice $(-2,0)$, sube hasta el punto $(0,4)$, salta hacia abajo hasta 3 y a partir de ahí sigue la recta.