Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

La distancia alcanzada en el lanzamiento de jabalina por los integrantes de un equipo de atletismo infantil sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=81\ \text{metros}^2$. Se ha tomado una muestra de 9 atletas del equipo y las distancias alcanzadas han sido 16, 21, 15, 17, 16, 19, 14, 14 y 19 metros.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la distancia de lanzamiento de jabalina con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 49 atletas y un nivel de confianza del 95,96 %? (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la distancia de lanzamiento de jabalina con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma=\sqrt{81}=9$ metros, y la muestra tiene tamaño $n=9$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{16+21+15+17+16+19+14+14+19}{9}=\dfrac{151}{9}\approx 16{,}7778\ \text{m}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{9}{\sqrt{9}}=2{,}17\cdot 3=6{,}51$

$IC=(16{,}7778-6{,}51\,;\,16{,}7778+6{,}51)=(10{,}2678\,;\,23{,}2878)$

Con una confianza del 97 %, la distancia media de lanzamiento está entre 10,2678 y 23,2878 metros. El intervalo es muy ancho porque la muestra es pequeña y la desviación típica, grande.

$\textbf{b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, para que la amplitud aumente hay que disminuir el tamaño de la muestra: se gana en anchura lo que se pierde en precisión.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 49 atletas y un nivel de confianza del 95,96 \%? (0,5 puntos)}$

Con el nuevo nivel de confianza, $\alpha=0{,}0404$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0202=0{,}9798 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$

$E=2{,}05\cdot\dfrac{9}{\sqrt{49}}=\dfrac{18{,}45}{7}\approx 2{,}6357$

El error máximo admisible sería de 2,6357 metros, menos de la mitad del anterior.