Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $M=\begin{pmatrix}4&9\\1&2\end{pmatrix}$, $N=\begin{pmatrix}-2&9\\1&-4\end{pmatrix}$ y $P=\begin{pmatrix}6&-3\\-3&1\end{pmatrix}$,

a) Demuestra que $M$ y $N$ conmutan. (0,5 puntos)

b) Resuelve la ecuación $M\cdot P\cdot X=N^{T}-M$. (1 punto)

c) Calcula la matriz que sumada con la matriz $(N+I)^2$ da como resultado la matriz nula, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Demuestra que } \boldsymbol{M}\textbf{ y } \boldsymbol{N}\textbf{ conmutan. (0,5 puntos)}$

Dos matrices conmutan cuando su producto no depende del orden, así que calculamos los dos productos.

$M\cdot N=\begin{pmatrix}4&9\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2&9\\1&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8+9&36-36\\-2+2&9-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$N\cdot M=\begin{pmatrix}-2&9\\1&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&9\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8+9&-18+18\\4-4&9-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Los dos productos valen la identidad, luego $M$ y $N$ conmutan y además son inversas la una de la otra.

$\textbf{b) Resuelve la ecuación } \boldsymbol{M\cdot P\cdot X=N^{T}-M}\textbf{. (1 punto)}$

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $M\cdot P$:

$X=(M\cdot P)^{-1}\cdot(N^{T}-M)$

Calculamos las dos piezas. Primero el producto del primer miembro:

$M\cdot P=\begin{pmatrix}4&9\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6&-3\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24-27&-12+9\\6-6&-3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-3\\0&-1\end{pmatrix}$

Su determinante no es nulo, luego tiene inversa:

$|M\cdot P|=3 \Rightarrow (M\cdot P)^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1&3\\0&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}&1\\[4pt] 0&-1\end{pmatrix}$

Y ahora el segundo miembro, trasponiendo $N$ y restando:

$N^{T}-M=\begin{pmatrix}-2&1\\9&-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&9\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&-8\\8&-6\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}&1\\[4pt] 0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6&-8\\8&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&-\dfrac{10}{3}\\[4pt] -8&6\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Calcula la matriz que sumada con la matriz } \boldsymbol{(N+I)^2}\textbf{ da como resultado la matriz nula, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 2. (0,5 puntos)}$

La matriz que sumada a otra da la matriz nula es su opuesta, así que basta calcular $(N+I)^2$ y cambiar el signo de todos sus elementos.

$N+I=\begin{pmatrix}-2&9\\1&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&9\\1&-3\end{pmatrix}$

$(N+I)^2=\begin{pmatrix}-1&9\\1&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&9\\1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+9&-9-27\\-1-3&9+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&-36\\-4&18\end{pmatrix}$

La matriz pedida es la opuesta de la anterior:

$-(N+I)^2=\begin{pmatrix}-10&36\\4&-18\end{pmatrix}$