Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una cooperativa manchega que distribuye tres tipos de vino, blanco, rosado y tinto, ha recibido un pedido de 50 botellas. Se sabe que el doble de botellas de vino blanco, por una parte, excede en una unidad al de botellas de vino rosado y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de botellas vino tinto.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas botellas de vino blanco, rosado y tinto se pidieron. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas botellas de vino blanco, rosado y tinto se pidieron. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a las botellas de vino blanco, $y$ a las de rosado y $z$ a las de tinto.

El pedido es de 50 botellas:

$x+y+z=50$

El doble de las botellas de blanco excede en una unidad a las de rosado:

$2x=y+1$

Y ese mismo doble coincide con el quíntuplo de las de tinto:

$2x=5z$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=50\\ 2x=y+1\\ 2x=5z \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

De la segunda y la tercera ecuación despejamos $y$ y $z$ en función de $x$:

$y=2x-1,\qquad z=\dfrac{2x}{5}$

Sustituimos en la primera ecuación:

$x+2x-1+\dfrac{2x}{5}=50$

Multiplicamos por 5 para quitar el denominador:

$5x+10x-5+2x=250 \Rightarrow 17x=255 \Rightarrow x=15$

$y=2\cdot 15-1=29,\qquad z=\dfrac{2\cdot 15}{5}=6$

Comprobamos que $15+29+6=50$ y que $2\cdot 15=30$ es a la vez $29+1$ y $5\cdot 6$.

Se pidieron 15 botellas de vino blanco, 29 de rosado y 6 de tinto.