Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Una marca de productos de repostería ha tomado una muestra aleatoria de 36 bizcochos y ha medido su contenido calórico, proporcionando una media de 223 calorías. Si se sabe que el contenido calórico sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=51$ calorías,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del contenido calórico de los bizcochos con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94,64 %, el error máximo admisible sea menor que 10 calorías. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del contenido calórico de los bizcochos con un nivel de confianza del 95 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=36$, $\bar{x}=223$ calorías y $\sigma=51$ calorías.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{51}{\sqrt{36}}=1{,}96\cdot 8{,}5=16{,}66$

$IC=(223-16{,}66\,;\,223+16{,}66)=(206{,}34\,;\,239{,}66)$

Con una confianza del 95 %, el contenido calórico medio de los bizcochos está entre 206,34 y 239,66 calorías.

$\textbf{b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94,64 \%, el error máximo admisible sea menor que 10 calorías. (1 punto)}$

Repetimos la búsqueda del valor crítico con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}9464$, entonces $\alpha=0{,}0536$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0268=0{,}9732 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}93$

Imponemos que el error sea menor que 10 calorías y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=1{,}93\cdot\dfrac{51}{\sqrt{n}}<10 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{98{,}43}{10}=9{,}843$

$n>9{,}843^2=96{,}88$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que tomar al menos 97 bizcochos.