Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Halla razonadamente los parámetros $a$ y $b$ de la función $f(x)=ax^2+bx-20$, sabiendo que dicha función tiene un máximo en el punto $(6,16)$. (1,5 puntos)

$\textbf{Halla razonadamente los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ de la función } \boldsymbol{f(x)=ax^2+bx-20}\textbf{, sabiendo que dicha función tiene un máximo en el punto } \boldsymbol{(6,16)}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Que la función tenga un máximo en $(6,16)$ significa dos cosas: que pasa por ese punto y que allí su derivada se anula. Empezamos por la derivada.

$f'(x)=2ax+b$

La derivada se anula en $x=6$:

$f'(6)=12a+b=0 \Rightarrow b=-12a$

Y la función pasa por el punto:

$f(6)=36a+6b-20=16 \Rightarrow 36a+6b=36 \Rightarrow 6a+b=6$

Sustituimos $b=-12a$ en esta última ecuación:

$6a-12a=6 \Rightarrow -6a=6 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow b=12$

Los parámetros son $a=-1$ y $b=12$, de modo que la función es $f(x)=-x^2+12x-20$. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola está abierta hacia abajo y el punto $(6,16)$ es efectivamente un máximo.