Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} |x+1|+t & \text{si } x\le 0\\[4pt] -x^3+2x^2+(t+2)x+3 & \text{si } x>0 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0,\infty)$. (0,5 puntos)

c) Para $t=2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0,\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Imponemos que los dos valores laterales en $x=0$ coincidan.

$f(0)=|0+1|+t=1+t$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=0+0+0+3=3$

$1+t=3 \Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=0$ para $t=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=2}\textbf{, calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(0,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el segundo trozo, que con $t=2$ queda:

$f(x)=-x^3+2x^2+4x+3$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=-3x^2+4x+4$

$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2-4x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+48}}{6}=\dfrac{4\pm 8}{6}$

$\begin{cases} x=2\\ x=-\dfrac{2}{3} \end{cases}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al intervalo $(0,\infty)$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$f''(x)=-6x+4 \Rightarrow f''(2)=-8<0$

Al ser negativa, en $x=2$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(2)=-8+8+8+3=11$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(2,11)$ y ningún mínimo en ese intervalo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=2}\textbf{, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(0,\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=-3x^2+4x+4$, que es una parábola abierta hacia abajo con raíces $-\frac{2}{3}$ y 2.

$f'(1)=-3+4+4=5>0,\qquad f'(3)=-27+12+4=-11<0$



La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$.