Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x,y)=4x+5y-3$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\begin{cases} x+y\le 2\\ x-2y\le 5\\ y\le 0\\ x\ge 1 \end{cases}$

a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)

b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)}$

Representamos las cuatro rectas frontera $x+y=2$, $x-2y=5$, $y=0$ y $x=1$, y nos quedamos con el recinto en el que se cumplen las cuatro desigualdades a la vez.



Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} x=1\\ y=0 \end{cases} \Rightarrow A(1,0)$

$\begin{cases} x+y=2\\ y=0 \end{cases} \Rightarrow B(2,0)$

$\begin{cases} x+y=2\\ x-2y=5 \end{cases} \Rightarrow 3y=-3 \Rightarrow y=-1,\ x=3 \Rightarrow C(3,-1)$

$\begin{cases} x=1\\ x-2y=5 \end{cases} \Rightarrow 1-2y=5 \Rightarrow y=-2 \Rightarrow D(1,-2)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(3,-1)$ y $D(1,-2)$.

$\textbf{b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los cuatro:

$f(1,0)=4-3=1$

$f(2,0)=8-3=5$

$f(3,-1)=12-5-3=4$

$f(1,-2)=4-10-3=-9$

El máximo se alcanza en el punto $B(2,0)$ y vale 5; el mínimo se alcanza en el punto $D(1,-2)$ y vale $-9$.