Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por $H(x)=20x-2x^2$ con $x=$ tiempo en segundos y $0\le x\le 10$.

a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos? (0,5 puntos)

b) ¿En qué momentos la pelota se encuentra a 32 metros de altura? (0,5 puntos)

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? (1 punto)

$\textbf{a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos? (0,5 puntos)}$

Basta sustituir el tiempo en la función de la altura.

$H(3)=20\cdot 3-2\cdot 3^2=60-18=42$

A los 3 segundos la pelota se encuentra a 42 metros de altura.

$\textbf{b) ¿En qué momentos la pelota se encuentra a 32 metros de altura? (0,5 puntos)}$

Igualamos la altura a 32 y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta.

$20x-2x^2=32 \Rightarrow 2x^2-20x+32=0 \Rightarrow x^2-10x+16=0$

$x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\dfrac{10\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=2\\ x=8 \end{cases}$

Las dos soluciones pertenecen al intervalo $[0,10]$ y las dos tienen sentido: la primera corresponde a la subida y la segunda a la bajada.



La pelota está a 32 metros de altura a los 2 segundos, cuando sube, y a los 8 segundos, cuando baja.

$\textbf{c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? (1 punto)}$

Derivamos la altura e igualamos a cero para localizar el punto crítico.

$H'(x)=20-4x$

$H'(x)=0 \Rightarrow 20-4x=0 \Rightarrow x=5$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$H''(x)=-4<0$

Al ser negativa, en $x=5$ hay un máximo, y su valor es:

$H(5)=20\cdot 5-2\cdot 5^2=100-50=50$

La pelota alcanza su altura máxima, 50 metros, a los 5 segundos del lanzamiento.