Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} -(x+t)^2+2 & \text{si } x\le -2\\[4pt] t-2 & \text{si } -2<x\le 2\\[4pt] x^2-(t+3)x+9 & \text{si } x>2 \end{cases}$

a) ¿Existe un valor de $t$ para el que la función $f(x)$ es continua en $x=-2$ y en $x=2$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $t=3$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Existe un valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para el que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=-2}\textbf{ y en } \boldsymbol{x=2}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Imponemos por separado la continuidad en cada uno de los dos puntos de empalme y vemos si hay algún valor que sirva para los dos.

En $x=-2$:

$-(-2+t)^2+2=t-2 \Rightarrow -(t-2)^2+2=t-2$

Llamando $u=t-2$ queda una ecuación de segundo grado sencilla:

$-u^2+2=u \Rightarrow u^2+u-2=0 \Rightarrow u=\dfrac{-1\pm 3}{2}$

$\begin{cases} u=1 \Rightarrow t=3\\ u=-2 \Rightarrow t=0 \end{cases}$

En $x=2$:

$t-2=4-2(t+3)+9 \Rightarrow t-2=7-2t \Rightarrow 3t=9 \Rightarrow t=3$

Sí existe: el único valor que hace continua la función en los dos puntos a la vez es $t=3$.

$\textbf{b) Representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{t=3}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $t=3$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} -(x+3)^2+2 & \text{si } x\le -2\\ 1 & \text{si } -2<x\le 2\\ x^2-6x+9 & \text{si } x>2 \end{cases}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia abajo con vértice en $(-3,2)$, que termina en

$f(-2)=-1+2=1$

El segundo trozo es un tramo horizontal a la altura 1, entre $x=-2$ y $x=2$.

El tercero es una parábola abierta hacia arriba que se reconoce como un cuadrado perfecto:

$x^2-6x+9=(x-3)^2$

luego tiene su vértice en $(3,0)$ y arranca en $f(2)=1$, que es justo donde acaba el tramo horizontal: por eso con $t=3$ la gráfica se dibuja de un solo trazo.



La función sube hasta el vértice $(-3,2)$, baja hasta el valor 1, se mantiene constante entre $-2$ y 2, desciende hasta tocar el eje en $x=3$ y a partir de ahí crece indefinidamente.