Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Un fabricante de motores para coches de Fórmula 1 ha tomado una muestra aleatoria de 81 motores para examinar su peso, proporcionando una media de 153 kg. Si se sabe que el peso de los motores sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=30$ kg,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso de los motores con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 93,12 %? (0,5 puntos)

c) El fabricante afirma que el peso medio de los motores es de 145 kg. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 92 %? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso de los motores con un nivel de confianza del 95 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=81$, $\bar{x}=153$ kg y $\sigma=30$ kg.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{30}{\sqrt{81}}=\dfrac{58{,}8}{9}\approx 6{,}5333$

$IC=(153-6{,}5333\,;\,153+6{,}5333)=(146{,}4667\,;\,159{,}5333)$

Con una confianza del 95 %, el peso medio de los motores está entre 146,4667 y 159,5333 kg.

$\textbf{b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 93,12 \%? (0,5 puntos)}$

Repetimos la búsqueda del valor crítico con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}9312$, entonces $\alpha=0{,}0688$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0344=0{,}9656 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}82$

$E=1{,}82\cdot\dfrac{30}{\sqrt{100}}=\dfrac{54{,}6}{10}=5{,}46$

El error máximo admisible sería de 5,46 kg.

$\textbf{c) El fabricante afirma que el peso medio de los motores es de 145 kg. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 92 \%? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}92$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}04=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

$E=1{,}75\cdot\dfrac{30}{9}\approx 5{,}8333$

$IC=(153-5{,}8333\,;\,153+5{,}8333)=(147{,}1667\,;\,158{,}8333)$

Como 145 no pertenece al intervalo, no se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 92 %. De hecho tampoco se aceptaría con el 95 % del primer apartado, cuyo intervalo es más ancho y tampoco contiene a 145.