Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

De los 80 estudiantes solicitantes de una beca Erasmus en Italia, 50 son mujeres. Se seleccionan al azar y sin reposición a 3 estudiantes que serán los que disfruten de la beca Erasmus en ese destino. Calcular la probabilidad de que:

a) Los tres seleccionados sean mujeres. (0,5 puntos)

b) Los tres seleccionados sean del mismo sexo. (0,5 puntos)

c) Al menos dos de los seleccionados sean hombres. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Los tres seleccionados sean mujeres. (0,5 puntos)}$

De los 80 solicitantes, 50 son mujeres y $80-50=30$ son hombres. Nombramos $M$ = seleccionar una mujer y $H$ = seleccionar un hombre.

Como la selección es sin reposición, en cada extracción quedan un solicitante y un caso favorable menos. El árbol del experimento es:



Recorremos la rama de las tres mujeres multiplicando sus probabilidades:

$P(MMM)=\dfrac{50}{80}\cdot\dfrac{49}{79}\cdot\dfrac{48}{78}=\dfrac{117600}{492960}=\dfrac{245}{1027}\approx 0{,}2386$

La probabilidad de que los tres seleccionados sean mujeres es $\frac{245}{1027}$, aproximadamente 0,2386.

$\textbf{b) Los tres seleccionados sean del mismo sexo. (0,5 puntos)}$

Que los tres sean del mismo sexo ocurre de dos maneras incompatibles: que los tres sean mujeres o que los tres sean hombres. Recorremos la otra rama extrema:

$P(HHH)=\dfrac{30}{80}\cdot\dfrac{29}{79}\cdot\dfrac{28}{78}=\dfrac{24360}{492960}=\dfrac{203}{4108}\approx 0{,}0494$

Y sumamos las dos probabilidades:

$P(\text{mismo sexo})=\dfrac{245}{1027}+\dfrac{203}{4108}=\dfrac{980+203}{4108}=\dfrac{1183}{4108}=\dfrac{91}{316}\approx 0{,}2880$

La probabilidad de que los tres seleccionados sean del mismo sexo es $\frac{91}{316}$, aproximadamente 0,2880.

$\textbf{c) Al menos dos de los seleccionados sean hombres. (0,5 puntos)}$

«Al menos dos hombres» reúne dos casos: que haya exactamente dos hombres o que haya tres. El caso de exactamente dos hombres se da en tres ramas del árbol ($HHM$, $HMH$ y $MHH$), y las tres tienen la misma probabilidad porque solo cambia el orden de los factores:

$P(HHM)=\dfrac{30}{80}\cdot\dfrac{29}{79}\cdot\dfrac{50}{78}=\dfrac{43500}{492960}$

$P(\text{dos hombres})=3\cdot\dfrac{43500}{492960}=\dfrac{130500}{492960}$

Sumamos el caso de los tres hombres, ya calculado:

$P(\text{al menos dos hombres})=\dfrac{130500}{492960}+\dfrac{24360}{492960}=\dfrac{154860}{492960}=\dfrac{2581}{8216}\approx 0{,}3141$

La probabilidad de que al menos dos de los seleccionados sean hombres es $\frac{2581}{8216}$, aproximadamente 0,3141.