Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0&2&2\end{pmatrix}$,

a) Calcula $A\cdot B\cdot C^{T}$. (0,75 puntos)

b) Calcula $\frac{1}{3}B^2-I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (0,75 puntos)

c) Razona si se puede calcular $(A-B)-C$ y $B\cdot C$ (no es necesario realizar las operaciones). (0,5 puntos)

$\textbf{a) Calcula } \boldsymbol{A\cdot B\cdot C^{T}}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La matriz $C$ es una fila de orden $1\times 3$, luego su traspuesta es una columna de orden $3\times 1$ y el producto se puede encadenar. Empezamos por las dos matrices cuadradas.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\2&1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}$

Y multiplicamos el resultado por la columna:

$A\cdot B\cdot C^{T}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\2&1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+2-2\\0+2-2\\0+2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcula } \boldsymbol{\frac{1}{3}B^2-I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. (0,75 puntos)}$

Calculamos primero el cuadrado de $B$:

$B^2=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}$

Multiplicamos por el escalar y restamos la identidad:

$\dfrac{1}{3}B^2-I=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&-1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{3}B^2-I=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\\[6pt] -\dfrac{1}{3}&-1&\dfrac{1}{3}\\[6pt] -\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}&-1\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Razona si se puede calcular } \boldsymbol{(A-B)-C}\textbf{ y } \boldsymbol{B\cdot C}\textbf{ (no es necesario realizar las operaciones). (0,5 puntos)}$

Basta mirar los órdenes de las matrices. Dos matrices se pueden sumar o restar solo si tienen el mismo orden, y se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

$A-B$ sí se puede hacer, porque las dos son de orden $3\times 3$, y el resultado es de orden $3\times 3$. Pero $C$ es de orden $1\times 3$, así que $(A-B)-C$ no se puede calcular: los órdenes no coinciden.

$B\cdot C$ tampoco se puede calcular: $B$ tiene 3 columnas y $C$ tiene 1 fila, y esos dos números han de ser iguales.