Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un teatro ha vendido las 660 entradas disponibles que tenía para un espectáculo. El número de entradas que se han vendido para jubilados es la cuarta parte de las entradas que se han vendido para adultos. Además, las entradas para niños equivalen al 10 % de las que se han vendido entre adultos y jubilados.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cómo se han repartido las entradas entre adultos, jubilados y niños. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cómo se han repartido las entradas entre adultos, jubilados y niños. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a las entradas de adultos, $y$ a las de jubilados y $z$ a las de niños.

Se han vendido las 660 entradas disponibles:

$x+y+z=660$

Las de jubilados son la cuarta parte de las de adultos:

$y=\dfrac{x}{4}$

Y las de niños son el 10 % de las vendidas entre adultos y jubilados:

$z=0{,}10(x+y)$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=660\\ y=\dfrac{x}{4}\\ z=0{,}10(x+y) \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

Sustituimos $y=\frac{x}{4}$ en la tercera ecuación:

$z=0{,}10\left(x+\dfrac{x}{4}\right)=0{,}10\cdot\dfrac{5x}{4}=\dfrac{x}{8}$

Y llevamos las dos expresiones a la primera:

$x+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{8}=660$

Multiplicamos por 8 para quitar los denominadores:

$8x+2x+x=5280 \Rightarrow 11x=5280 \Rightarrow x=480$

$y=\dfrac{480}{4}=120,\qquad z=\dfrac{480}{8}=60$

Comprobamos que $480+120+60=660$ y que 60 es el 10 % de 600.

Se han vendido 480 entradas de adulto, 120 de jubilado y 60 de niño.