Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=100\ \text{euros}^2$,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma=\sqrt{100}=10$ euros, y la muestra tiene tamaño $n=9$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{60+40+55+35+20+25+50+45+30}{9}=\dfrac{360}{9}=40\ \text{€}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{10}{3}\approx 7{,}2333$

$IC=(40-7{,}2333\,;\,40+7{,}2333)=(32{,}7667\,;\,47{,}2333)$

Con una confianza del 97 %, la donación media está entre 32,7667 y 47,2333 euros.

$\textbf{b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros. (1 punto)}$

El nivel de confianza no cambia, así que seguimos con $z_{\alpha/2}=2{,}17$. Imponemos la condición sobre el error y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=2{,}17\cdot\dfrac{10}{\sqrt{n}}<2 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{21{,}7}{2}=10{,}85$

$n>10{,}85^2=117{,}7225$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que preguntar al menos a 118 personas.