Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En un determinado instituto el 50 % de los estudiantes prefiere como red social Facebook, pero un 30 % de estos no publica habitualmente nada. El 35 % prefiere Instagram, pero solo el 30 % de los que prefieren esta plataforma hacen publicaciones habitualmente. Finalmente, el resto de los estudiantes prefiere TikTok y un 60 % de estos no publica habitualmente.

a) Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no publique habitualmente nada en su red social preferida? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que un estudiante publica habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que su red social preferida sea Instagram? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no publique habitualmente nada en su red social preferida? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $F$ = prefiere Facebook, $I$ = prefiere Instagram, $T$ = prefiere TikTok y $P$ = publica habitualmente.

Como Facebook es el 50 % e Instagram el 35 %, TikTok es el resto:

$P(F)=0{,}50,\qquad P(I)=0{,}35,\qquad P(T)=0{,}15$

Los porcentajes que da el enunciado son unas veces de los que publican y otras de los que no, así que conviene ordenarlos:

$P(\overline{P}/F)=0{,}30,\qquad P(P/I)=0{,}30,\qquad P(\overline{P}/T)=0{,}60$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(\overline{P})=0{,}50\cdot 0{,}30+0{,}35\cdot 0{,}70+0{,}15\cdot 0{,}60$

$P(\overline{P})=0{,}15+0{,}245+0{,}09=0{,}485$

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar no publique habitualmente nada es 0,485.

$\textbf{b) Si se sabe que un estudiante publica habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que su red social preferida sea Instagram? (0,75 puntos)}$

Del apartado anterior obtenemos la probabilidad de publicar pasando al suceso contrario:

$P(P)=1-0{,}485=0{,}515$

Y ahora aplicamos el teorema de Bayes:

$P(I/P)=\dfrac{P(I)P(P/I)}{P(P)}=\dfrac{0{,}35\cdot 0{,}30}{0{,}515}=\dfrac{0{,}105}{0{,}515}=\dfrac{21}{103}\approx 0{,}2039$

Entre los estudiantes que publican habitualmente, la probabilidad de que su red preferida sea Instagram es $\frac{21}{103}$, aproximadamente 0,2039.