Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

La función $f(x)=ax^3+bx^2+c$ tiene un punto de inflexión en $(2,-5)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $-12$. Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^3+bx^2+c}\textbf{ tiene un punto de inflexión en } \boldsymbol{(2,-5)}\textbf{ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es } \boldsymbol{-12}\textbf{. Calcula razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f'(x)=3ax^2+2bx,\qquad f''(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f''(2)=12a+2b=0 \Rightarrow b=-6a$

La pendiente de la recta tangente en ese punto es el valor de la primera derivada:

$f'(2)=12a+4b=-12$

Sustituimos $b=-6a$:

$12a-24a=-12 \Rightarrow -12a=-12 \Rightarrow a=1 \Rightarrow b=-6$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(2)=8a+4b+c=-5 \Rightarrow 8-24+c=-5 \Rightarrow c=11$

Los parámetros son $a=1$, $b=-6$ y $c=11$, de modo que la función es $f(x)=x^3-6x^2+11$.