Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} 2x^2+tx-1 & \text{si } x\le 1\\[4pt] x+t & \text{si } x>1 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-\infty,1)$. (0,5 puntos)

c) Para $t=2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-\infty,1)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=1}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, luego basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=1$.

$f(1)=2\cdot 1^2+t\cdot 1-1=1+t$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=1+t$

Los dos valores son la misma expresión, así que la igualdad se cumple sea cual sea $t$: la función es continua en $x=1$ para cualquier valor del parámetro.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=2}\textbf{, calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(-\infty,1)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el primer trozo, que con $t=2$ queda:

$f(x)=2x^2+2x-1$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=4x+2$

$f'(x)=0 \Rightarrow 4x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=4>0$

Al ser positiva, en $x=-\frac{1}{2}$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}-1-1=-\dfrac{3}{2}$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$ y ningún máximo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=2}\textbf{, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(-\infty,1)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=4x+2$, que es una recta creciente que se anula en $x=-\frac{1}{2}$.

$f'(-1)=-2<0,\qquad f'(0)=2>0$



La función decrece en $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ y crece en $\left(-\frac{1}{2},1\right)$.