Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La discografía de un legendario grupo de rock se reedita en tres discos (I, II y III) y las ventas totales ascienden a 70000 unidades. Sabemos que del disco III se vendieron las mismas unidades que entre los otros dos discos juntos y que la diferencia entre las unidades vendidas del III y las del II equivalen al triple de la diferencia entre las unidades vendidas del II y las del I.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de unidades de cada disco se vendieron. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de unidades de cada disco se vendieron. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a las unidades vendidas del disco I, $y$ a las del II y $z$ a las del III.

Las ventas totales son 70000 unidades:

$x+y+z=70000$

Del disco III se vendieron tantas unidades como entre los otros dos juntos:

$z=x+y$

Y la diferencia entre las ventas del III y las del II es el triple de la diferencia entre las del II y las del I:

$z-y=3(y-x)$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=70000\\ z=x+y\\ z-y=3(y-x) \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

Sustituimos la segunda ecuación en la primera:

$z+z=70000 \Rightarrow 2z=70000 \Rightarrow z=35000$

Con ello la segunda ecuación queda $x+y=35000$, de donde $x=35000-y$. Llevamos ambas cosas a la tercera:

$35000-y=3y-3(35000-y)$

$35000-y=3y-105000+3y \Rightarrow 140000=7y \Rightarrow y=20000$

$x=35000-20000=15000$

Comprobamos que $35000-20000=15000$ es el triple de $20000-15000=5000$.

Se vendieron 15000 unidades del disco I, 20000 del II y 35000 del III.