Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x,y)=-x-5y+10$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\begin{cases} x-y\ge 0\\ -4\le x\le 4\\ -1\le y\le 1 \end{cases}$

a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)

b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)}$

Las restricciones $-4\le x\le 4$ y $-1\le y\le 1$ definen un rectángulo, y la primera, escrita como $y\le x$, se queda con el semiplano que hay por debajo de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

$x-y\ge 0 \Rightarrow y\le x$

Las rectas frontera son $y=x$, $x=-4$, $x=4$, $y=-1$ e $y=1$. La recta $x=-4$ no llega a tocar el recinto, porque para $x=-4$ haría falta $y\le -4$ y la ordenada nunca baja de $-1$.



Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} y=x\\ y=-1 \end{cases} \Rightarrow A(-1,-1)$

$\begin{cases} y=x\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow D(1,1)$

$\begin{cases} x=4\\ y=-1 \end{cases} \Rightarrow B(4,-1)$

$\begin{cases} x=4\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow C(4,1)$

La región factible es el trapecio de vértices $A(-1,-1)$, $B(4,-1)$, $C(4,1)$ y $D(1,1)$.

$\textbf{b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los cuatro:

$f(-1,-1)=1+5+10=16$

$f(4,-1)=-4+5+10=11$

$f(4,1)=-4-5+10=1$

$f(1,1)=-1-5+10=4$

El máximo se alcanza en el punto $A(-1,-1)$ y vale 16; el mínimo se alcanza en el punto $C(4,1)$ y vale 1.