Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

En una empresa farmacéutica, el rendimiento económico, $R(x)$ (en millones de euros), de un fármaco en función del tiempo, $x$ (en años), desde su lanzamiento viene expresado por la función

$R(x)=\begin{cases} 2x+4 & \text{si } 0\le x\le 2\\[4pt] (5+t)x-1 & \text{si } 2<x\le 5\\[4pt] -(x+t)^2+(14+t)x-30 & \text{si } 5<x\le 11 \end{cases}$

a) ¿Existe algún valor de $t$ para el que el rendimiento económico del fármaco sea continuo en $x=5$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente el rendimiento económico del fármaco para $t=0$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Existe algún valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para el que el rendimiento económico del fármaco sea continuo en } \boldsymbol{x=5}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Imponemos que los dos valores laterales en $x=5$ coincidan.

$\lim_{x\to 5^-}R(x)=(5+t)\cdot 5-1=24+5t$

$\lim_{x\to 5^+}R(x)=-(5+t)^2+(14+t)\cdot 5-30=15-5t-t^2$

Igualamos ambas expresiones:

$24+5t=15-5t-t^2 \Rightarrow t^2+10t+9=0$

$t=\dfrac{-10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\dfrac{-10\pm 8}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=-1\\ t=-9 \end{cases}$

Sí existe: el rendimiento económico es continuo en $x=5$ para $t=-1$ y para $t=-9$.

$\textbf{b) Representa gráficamente el rendimiento económico del fármaco para } \boldsymbol{t=0}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $t=0$ la función queda:

$R(x)=\begin{cases} 2x+4 & \text{si } 0\le x\le 2\\ 5x-1 & \text{si } 2<x\le 5\\ -x^2+14x-30 & \text{si } 5<x\le 11 \end{cases}$

Los dos primeros trozos son rectas y basta con sus extremos:

$R(0)=4,\qquad R(2)=8$

$\lim_{x\to 2^+}R(x)=9,\qquad R(5)=24$

El tercero es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice se obtiene anulando la derivada:

$R'(x)=-2x+14=0 \Rightarrow x=7,\qquad R(7)=-49+98-30=19$

$\lim_{x\to 5^+}R(x)=15,\qquad R(11)=-121+154-30=3$

Como $t=0$ no es ninguno de los valores del apartado anterior, la función no es continua: presenta un salto en $x=5$, y también en $x=2$. Los círculos huecos marcan los valores que la función no llega a tomar.



El rendimiento sube desde los 4 millones de euros del lanzamiento hasta los 24 del quinto año, cae bruscamente a 15, alcanza un máximo local de 19 millones en el séptimo año y desciende hasta los 3 millones en el undécimo.