Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una empresa de telefonía, el número de llamadas al día que reciben de clientes para hacer reclamaciones sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=280$ llamadas. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 días proporcionando una media de 486 llamadas de clientes al día.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de llamadas con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Explica, justificando la respuesta, qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0,5 puntos)

c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99 %? Justifica la respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de llamadas con un nivel de confianza del 95 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=100$, $\bar{x}=486$ llamadas y $\sigma=280$ llamadas.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{280}{\sqrt{100}}=1{,}96\cdot 28=54{,}88$

$IC=(486-54{,}88\,;\,486+54{,}88)=(431{,}12\,;\,540{,}88)$

Con una confianza del 95 %, el número medio de llamadas diarias está entre 431,12 y 540,88.

$\textbf{b) Explica, justificando la respuesta, qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, al aumentar el tamaño de la muestra la amplitud disminuye: el intervalo se estrecha y la estimación es más precisa.

$\textbf{c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99 \%? Justifica la respuesta. (0,5 puntos)}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}99$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}005=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

$E=2{,}575\cdot 28=72{,}1$

$IC=(486-72{,}1\,;\,486+72{,}1)=(413{,}9\,;\,558{,}1)$

Como 500 pertenece al intervalo, sí se puede aceptar que la media de llamadas al día sea de 500 con un nivel de confianza del 99 %.