Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

De los bebés inscritos en el mes de mayo en Castilla-La Mancha, 72 tienen el nombre de Alba, Pablo o David. Sabemos que el número de bebés llamados David coincide con la diferencia entre los que se llaman Pablo y las que se llaman Alba. Además, se han inscrito tantas niñas con el nombre de Alba como la suma de los inscritos como David y un tercio de los inscritos como Pablo.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos bebés han sido inscritos con cada uno de los nombres. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos bebés han sido inscritos con cada uno de los nombres. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de bebés inscritos como Alba, $y$ a los inscritos como Pablo y $z$ a los inscritos como David.

Entre los tres nombres suman 72 inscripciones:

$x+y+z=72$

Los llamados David son la diferencia entre los llamados Pablo y las llamadas Alba:

$z=y-x$

Y las Alba son tantas como los David más un tercio de los Pablo:

$x=z+\dfrac{y}{3}$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=72\\ z=y-x\\ x=z+\dfrac{y}{3} \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

Sustituimos $z=y-x$ en la tercera ecuación:

$x=y-x+\dfrac{y}{3} \Rightarrow 2x=\dfrac{4y}{3} \Rightarrow x=\dfrac{2y}{3}$

Con ello el número de David queda también en función de $y$:

$z=y-\dfrac{2y}{3}=\dfrac{y}{3}$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación:

$\dfrac{2y}{3}+y+\dfrac{y}{3}=72 \Rightarrow 2y+3y+y=216 \Rightarrow 6y=216 \Rightarrow y=36$

$x=\dfrac{2\cdot 36}{3}=24,\qquad z=\dfrac{36}{3}=12$

Comprobamos que $24+36+12=72$ y que $36-24=12$.

En el mes de mayo se inscribieron 24 bebés con el nombre de Alba, 36 con el de Pablo y 12 con el de David.