Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Las horas de sueño de la población adolescente española sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=4\ \text{horas}^2$. Se ha tomado una muestra de 12 adolescentes y las horas de sueño registradas han sido 6,5, 8,4, 9,6, 7,4, 7,1, 6,8, 8,8, 8,3, 8,0, 7,1, 7,8 y 9,0 horas.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de las horas de sueño con un nivel de confianza del 95,96 %. (1 punto)

b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de 64 adolescentes y un nivel de confianza del 96,52 %? (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de las horas de sueño con un nivel de confianza del 95,96 \%. (1 punto)}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma=\sqrt{4}=2$ horas, y la muestra tiene tamaño $n=12$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{6{,}5+8{,}4+9{,}6+7{,}4+7{,}1+6{,}8+8{,}8+8{,}3+8{,}0+7{,}1+7{,}8+9{,}0}{12}$

$\bar{x}=\dfrac{94{,}8}{12}=7{,}9\ \text{horas}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}9596$, entonces $\alpha=0{,}0404$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0202=0{,}9798 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}05\cdot\dfrac{2}{\sqrt{12}}\approx 1{,}1836$

$IC=(7{,}9-1{,}1836\,;\,7{,}9+1{,}1836)=(6{,}7164\,;\,9{,}0836)$

Con una confianza del 95,96 %, la media de horas de sueño de la población adolescente está entre 6,7164 y 9,0836 horas.

$\textbf{b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de 64 adolescentes y un nivel de confianza del 96,52 \%? (1 punto)}$

Repetimos la búsqueda del valor crítico con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}9652$, entonces $\alpha=0{,}0348$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0174=0{,}9826 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}11$

$E=2{,}11\cdot\dfrac{2}{\sqrt{64}}=\dfrac{4{,}22}{8}=0{,}5275$

El error máximo admisible sería de 0,5275 horas, algo más de media hora.