Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En un taller el 10 % de las reparaciones se realizan a motos, el 70 % a coches y el resto a furgonetas. Se sabe que un 20 % de las reparaciones a motos, un 60 % de las reparaciones a coches y un 85 % de las reparaciones a furgonetas las paga el seguro.

a) Elegido un vehículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que una reparación la ha pagado el seguro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de una moto? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Elegido un vehículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $M$ = la reparación es de una moto, $C$ = de un coche, $F$ = de una furgoneta y $S$ = la paga el seguro.

Como las motos son el 10 % y los coches el 70 %, las furgonetas son el resto:

$P(M)=0{,}10,\qquad P(C)=0{,}70,\qquad P(F)=0{,}20$

$P(S/M)=0{,}20,\qquad P(S/C)=0{,}60,\qquad P(S/F)=0{,}85$

Hacemos un diagrama de árbol con el experimento.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(S)=0{,}10\cdot 0{,}20+0{,}70\cdot 0{,}60+0{,}20\cdot 0{,}85$

$P(S)=0{,}02+0{,}42+0{,}17=0{,}61$

Y pasamos al suceso contrario:

$P(\overline{S})=1-0{,}61=0{,}39$

La probabilidad de que la reparación de un vehículo elegido al azar no la pague el seguro es 0,39.

$\textbf{b) Si se sabe que una reparación la ha pagado el seguro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de una moto? (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(M/S)=\dfrac{P(M)P(S/M)}{P(S)}=\dfrac{0{,}10\cdot 0{,}20}{0{,}61}=\dfrac{0{,}02}{0{,}61}=\dfrac{2}{61}\approx 0{,}0328$

Sabiendo que el seguro ha pagado la reparación, la probabilidad de que sea de una moto es $\frac{2}{61}$, aproximadamente 0,0328.