Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)=ax^3+bx^2+c$, encuentra el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función pasa por el punto $(0,3)$ y la ecuación de la recta tangente a la función en el punto $(1,8)$ es $y=2x+6$. (1,5 puntos)

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x)=ax^3+bx^2+c}\textbf{, encuentra el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ sabiendo que la función pasa por el punto } \boldsymbol{(0,3)}\textbf{ y la ecuación de la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{(1,8)}\textbf{ es } \boldsymbol{y=2x+6}\textbf{. (1,5 puntos)}$

El enunciado da tres condiciones, una por cada parámetro. Calculamos primero la derivada, que hará falta en la última.

$f'(x)=3ax^2+2bx$

La función pasa por $(0,3)$:

$f(0)=c=3$

La función pasa también por el punto de tangencia $(1,8)$:

$f(1)=a+b+c=8 \Rightarrow a+b+3=8 \Rightarrow a+b=5$

Y la pendiente de la recta tangente en ese punto, que es 2, coincide con el valor de la derivada:

$f'(1)=3a+2b=2$

Despejamos $b=5-a$ en la penúltima ecuación y sustituimos:

$3a+2(5-a)=2 \Rightarrow 3a+10-2a=2 \Rightarrow a=-8$

$b=5-(-8)=13$

Los parámetros son $a=-8$, $b=13$ y $c=3$, de modo que la función es $f(x)=-8x^3+13x^2+3$.