Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Tras la Semana Santa, la cantidad de agua embalsada en conjunto entre los embalses de Torre de Abraham, Gasset y Azután es de $156\ \text{hm}^3$. El agua embalsada en Azután coincide con el doble de la diferencia entre Torre de Abraham y Gasset y además, el embalse de Gasset contiene un tercio del agua que contiene Azután.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de agua hay embalsada en cada embalse. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de agua hay embalsada en cada embalse. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a los hectómetros cúbicos embalsados en Torre de Abraham, $y$ a los de Gasset y $z$ a los de Azután.

Entre los tres embalses hay $156\ \text{hm}^3$:

$x+y+z=156$

El agua de Azután es el doble de la diferencia entre Torre de Abraham y Gasset:

$z=2(x-y)$

Y Gasset contiene un tercio del agua de Azután:

$y=\dfrac{z}{3}$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=156\\ z=2(x-y)\\ y=\dfrac{z}{3} \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

De la tercera ecuación se despeja $z=3y$, y lo sustituimos en la segunda:

$3y=2x-2y \Rightarrow 2x=5y \Rightarrow x=\dfrac{5y}{2}$

Llevamos ambas expresiones a la primera ecuación:

$\dfrac{5y}{2}+y+3y=156$

Multiplicamos por 2 para quitar el denominador:

$5y+2y+6y=312 \Rightarrow 13y=312 \Rightarrow y=24$

$x=\dfrac{5\cdot 24}{2}=60,\qquad z=3\cdot 24=72$

Comprobamos que $60+24+72=156$ y que $2(60-24)=72$.

Torre de Abraham tiene $60\ \text{hm}^3$, Gasset $24\ \text{hm}^3$ y Azután $72\ \text{hm}^3$.