Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una industria fabrica planchas de acero y de aluminio. Cada kilo de plancha de acero requiere 4 horas de trabajo y 60 € en gasto de material y arroja unos beneficios de 45 €, mientras que cada kilo de plancha de aluminio supone 7 horas de trabajo y tiene un gasto de 48 € siendo el beneficio de 30 €. Cada semana, la industria cuenta con 200 horas de trabajo y 2088 € en material y está obligada a producir un mínimo de 15 kg de planchas de acero y 10 kg de las de aluminio.

a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)

b) Determina cuántos kilos de cada tipo de plancha deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ a los kilos de plancha de acero e $y$ a los kilos de plancha de aluminio que se fabrican cada semana. Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Material (€)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Acero } (x)$	$4x$	$60x$	$45x$ $\text{Aluminio } (y)$	$7y$	$48y$	$30y$ $\text{Totales}$	$4x+7y$	$60x+48y$	$45x+30y$

La función objetivo, que se quiere hacer máxima, es el beneficio semanal:

$B(x,y)=45x+30y$

La industria dispone de 200 horas de trabajo a la semana:

$4x+7y\le 200$

Y de 2088 € en material:

$60x+48y\le 2088 \Rightarrow 5x+4y\le 174$

Además está obligada a producir un mínimo de 15 kg de acero y 10 kg de aluminio:

$x\ge 15,\qquad y\ge 10$

Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 4x+7y\le 200\\ 5x+4y\le 174\\ x\ge 15\\ y\ge 10 \end{cases}$

El recinto es la zona coloreada, limitada por las cuatro rectas.



$\textbf{b) Determina cuántos kilos de cada tipo de plancha deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)}$

Los vértices se obtienen cortando las restricciones dos a dos. El vértice $C$ es el punto donde se cortan las dos primeras rectas:

$\begin{cases} 4x+7y=200\\ 5x+4y=174 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20x+35y=1000\\ 20x+16y=696 \end{cases}$

$19y=304 \Rightarrow y=16 \Rightarrow 4x=200-112 \Rightarrow x=22$

Los otros tres salen de forma inmediata: $A(15,10)$, $D(15,20)$ de cortar $x=15$ con $4x+7y=200$, y $B$ de cortar $y=10$ con $5x+4y=174$:

$5x+40=174 \Rightarrow x=\dfrac{134}{5}=26{,}8$

Valoramos el beneficio en los cuatro vértices:

$B(15,10)=675+300=975\ \text{€}$

$B(26{,}8\,;10)=45\cdot 26{,}8+300=1206+300=1506\ \text{€}$

$B(22,16)=990+480=1470\ \text{€}$

$B(15,20)=675+600=1275\ \text{€}$

El beneficio máximo, 1506 € semanales, se obtiene fabricando 26,8 kg de plancha de acero y 10 kg de plancha de aluminio, que es justo lo que agota el presupuesto de material.