Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Durante una tormenta, la altura, $A(x)$, que han alcanzado las olas del mar, en metros, se puede expresar con respecto al tiempo ($x$ en horas) mediante la función

$A(x)=\begin{cases} -(2x+t)^2+(11+t) & \text{si } 0\le x<2\\[4pt] x^2-8x+19+t & \text{si } 2\le x\le 7 \end{cases}$

a) Halla los valores de $t$ para que la función de la altura de las olas sea continua en $x=2$. (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función de la altura de las olas, $A(x)$, para el valor $t=-1$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Halla los valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ para que la función de la altura de las olas sea continua en } \boldsymbol{x=2}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, luego solo hay que imponer que los valores laterales coincidan en $x=2$.

$\lim_{x\to 2^-}A(x)=-(2\cdot 2+t)^2+(11+t)=-(4+t)^2+11+t$

$A(2)=2^2-8\cdot 2+19+t=7+t$

Igualamos y simplificamos, teniendo en cuenta que la $t$ suelta aparece en los dos miembros:

$-(4+t)^2+11+t=7+t \Rightarrow (4+t)^2=4 \Rightarrow 4+t=\pm 2$

$\begin{cases} t=-2\\ t=-6 \end{cases}$

La altura de las olas es una función continua en $x=2$ para $t=-2$ y para $t=-6$.

$\textbf{b) Representa gráficamente la función de la altura de las olas, } \boldsymbol{A(x)}\textbf{, para el valor } \boldsymbol{t=-1}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $t=-1$ la función queda:

$A(x)=\begin{cases} -(2x-1)^2+10 & \text{si } 0\le x<2\\ x^2-8x+18 & \text{si } 2\le x\le 7 \end{cases}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice se obtiene anulando el cuadrado:

$2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2},\qquad A\left(\dfrac{1}{2}\right)=10$

$A(0)=-1+10=9,\qquad \lim_{x\to 2^-}A(x)=-9+10=1$

El segundo trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en

$x=\dfrac{-(-8)}{2}=4,\qquad A(4)=16-32+18=2$

$A(2)=4-16+18=6,\qquad A(7)=49-56+18=11$

Como $t=-1$ no es ninguno de los dos valores del apartado anterior, la función no es continua en $x=2$: la rama izquierda se acerca a 1 sin alcanzarlo y la derecha arranca en 6. Por eso el punto $(2,1)$ se marca con un círculo hueco.



Las olas parten de 9 m, suben hasta los 10 m a la media hora, bajan durante las dos primeras horas, siguen bajando hasta los 2 m a las cuatro horas y vuelven a crecer hasta los 11 m al final de la tormenta.