Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

La edad de los usuarios de un juego online sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2=4\ \text{años}^2$. Se ha tomado una muestra de 10 usuarios y sus edades eran 16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14 y 18 años.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del 95,44 %? (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma=\sqrt{4}=2$ años, y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{16+19+21+15+14+18+20+15+14+18}{10}=\dfrac{170}{10}=17$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{2}{\sqrt{10}}\approx 1{,}3724$

$IC=(17-1{,}3724\,;\,17+1{,}3724)=(15{,}6276\,;\,18{,}3724)$

Con una confianza del 97 %, la edad media de los usuarios del juego está entre 15,6276 y 18,3724 años.

$\textbf{b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población que tampoco se puede modificar. La única forma de reducir la amplitud es aumentar el tamaño de la muestra, porque $n$ está en el denominador.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del 95,44 \%? (0,5 puntos)}$

Con el nuevo nivel de confianza, $\alpha=0{,}0456$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0228=0{,}9772 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2$

$E=2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{81}}=\dfrac{4}{9}\approx 0{,}44$

El error máximo admisible sería de $\frac{4}{9}$ de año, unos 0,44 años.