Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&0\\2&2\\-1&1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}$.

a) Calcula, si es posible, $C+A\cdot B$. (0,75 puntos)

b) ¿Son iguales $C^{-1}+(A\cdot B)^{-1}$ y $(C+A\cdot B)^{-1}$? (1,25 puntos)

$\textbf{a) Calcula, si es posible, } \boldsymbol{C+A\cdot B}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$ y la $B$ de orden $3\times 2$, así que el producto $A\cdot B$ se puede hacer y resulta de orden $2\times 2$, el mismo que el de $C$: la suma también es posible.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0\\2&2\\-1&1\end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix}-1+4-3 & 0+4+3\\ -2+2-1 & 0+2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&7\\-1&3\end{pmatrix}$

$C+A\cdot B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&7\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6\\0&3\end{pmatrix}$

$\textbf{b) ¿Son iguales } \boldsymbol{C^{-1}+(A\cdot B)^{-1}}\textbf{ y } \boldsymbol{(C+A\cdot B)^{-1}}\textbf{? (1,25 puntos)}$

Las tres matrices tienen inversa porque sus determinantes no son nulos. Para una matriz de orden 2 usamos la fórmula

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Calculamos las dos inversas del primer miembro:

$|C|=1\cdot 0-(-1)\cdot 1=1 \Rightarrow C^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$

$|A\cdot B|=0\cdot 3-7\cdot(-1)=7 \Rightarrow (A\cdot B)^{-1}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}3&-7\\1&0\end{pmatrix}$

$C^{-1}+(A\cdot B)^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&0\\[4pt] -\dfrac{6}{7}&1\end{pmatrix}$

Y ahora la inversa de la suma, que ya calculamos en el apartado anterior:

$|C+A\cdot B|=1\cdot 3-6\cdot 0=3 \Rightarrow (C+A\cdot B)^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-6\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$

Las dos matrices no coinciden en ninguno de sus cuatro elementos, así que no son iguales: la inversa de una suma de matrices no es la suma de las inversas.