Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una clase se celebran elecciones para delegada y se presentan dos candidatas, Inés y Nerea. Se sabe que cuatro veces el número de votos obtenido por Nerea menos tres veces el número de votos obtenidos por Inés excede al número de votos nulos en un voto. Si dividimos el número de votos obtenidos por Inés entre el número de los obtenidos por Nerea se obtiene de cociente 1 y de resto 7 (algoritmo de la división: $D=d\cdot c+r$). El 5 % del total de votos emitidos es nulo.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ a los votos de Inés, $y$ a los de Nerea y $z$ a los votos nulos.

Cuatro veces los votos de Nerea menos tres veces los de Inés exceden en un voto a los nulos:

$4y-3x=z+1$

Al dividir los votos de Inés entre los de Nerea el cociente es 1 y el resto 7, y por el algoritmo de la división $D=d\cdot c+r$:

$x=y\cdot 1+7$

El 5 % del total de votos emitidos es nulo:

$z=0{,}05(x+y+z)$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} 4y-3x=z+1\\ x=y+7\\ z=0{,}05(x+y+z) \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

Empezamos quitando el decimal de la tercera ecuación multiplicándola por 20:

$20z=x+y+z \Rightarrow x+y=19z$

Sustituimos en ella $x=y+7$:

$2y+7=19z$

Y llevamos también $x=y+7$ a la primera ecuación:

$4y-3(y+7)=z+1 \Rightarrow y-21=z+1 \Rightarrow y=z+22$

Ya solo queda una incógnita:

$2(z+22)+7=19z \Rightarrow 2z+51=19z \Rightarrow 17z=51 \Rightarrow z=3$

$y=3+22=25,\qquad x=25+7=32$

Comprobamos que se emitieron $32+25+3=60$ votos y que el 5 % de 60 son los 3 votos nulos.

Inés recibió 32 votos, Nerea 25 y hubo 3 votos nulos.