Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Un fabricante de microprocesadores ha tomado una muestra aleatoria de 144 chips y ha medido el tiempo de ejecución de una operación, proporcionando una media de 142 milisegundos. Si se sabe que el tiempo de ejecución de los chips sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=42$ milisegundos,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecución de los chips con un nivel de confianza del 94,64 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94,12 %, el error máximo admisible sea menor que 8 milisegundos. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecución de los chips con un nivel de confianza del 94,64 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=144$, $\bar{x}=142$ y $\sigma=42$ milisegundos.

Del nivel de confianza obtenemos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}9464$, entonces $\alpha=0{,}0536$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}=1-0{,}0268=0{,}9732$

En la tabla de la $N(0,1)$ la probabilidad 0,9732 corresponde a $z_{\alpha/2}=1{,}93$.



Calculamos el error máximo admisible:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}93\cdot\dfrac{42}{\sqrt{144}}=1{,}93\cdot 3{,}5=6{,}755$

Y con él el intervalo:

$IC=\left(\bar{x}-E\,;\,\bar{x}+E\right)=(142-6{,}755\,;\,142+6{,}755)$

$IC=(135{,}245\,;\,148{,}755)$

Con una confianza del 94,64 %, el tiempo medio de ejecución de los chips está entre 135,245 y 148,755 milisegundos.

$\textbf{b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del 94,12 \%, el error máximo admisible sea menor que 8 milisegundos. (1 punto)}$

Repetimos la búsqueda del valor crítico con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}9412$, entonces $\alpha=0{,}0588$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0294=0{,}9706 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}89$

Imponemos ahora que el error sea menor que 8 milisegundos y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=1{,}89\cdot\dfrac{42}{\sqrt{n}}<8 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{1{,}89\cdot 42}{8}=9{,}9225$

$n>9{,}9225^2=98{,}46$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que tomar al menos 99 chips.