Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Una empresa de consultoría tiene dos sedes, una en Toledo y otra en Cuenca. La sede de Toledo está formada por 6 analistas y 6 desarrolladores, mientras que la de Cuenca la forman 4 analistas y 6 desarrolladores. Además, se sabe que el 30 % de los analistas y el 50 % de los desarrolladores de la empresa usan MacBooks en su trabajo diario.

a) Elegido un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use MacBook? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que un trabajador usa MacBook, ¿cuál es la probabilidad de que sea desarrollador? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Elegido un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use MacBook? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $A$ = el trabajador es analista, $D$ = es desarrollador y $M$ = usa MacBook.

Entre las dos sedes hay $6+4=10$ analistas y $6+6=12$ desarrolladores, es decir, 22 trabajadores en total.

$P(A)=\dfrac{10}{22}=\dfrac{5}{11},\qquad P(D)=\dfrac{12}{22}=\dfrac{6}{11}$

$P(M/A)=0{,}3,\qquad P(M/D)=0{,}5$

Hacemos un diagrama de árbol con el experimento.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(M)=P(A)P(M/A)+P(D)P(M/D)=\dfrac{5}{11}\cdot 0{,}3+\dfrac{6}{11}\cdot 0{,}5=\dfrac{9}{22}$

Y pasamos al suceso contrario:

$P(\overline{M})=1-\dfrac{9}{22}=\dfrac{13}{22}\approx 0{,}5909$

La probabilidad de que un trabajador elegido al azar no use MacBook es $\frac{13}{22}$, aproximadamente 0,5909.

$\textbf{b) Si se sabe que un trabajador usa MacBook, ¿cuál es la probabilidad de que sea desarrollador? (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(D/M)=\dfrac{P(D)P(M/D)}{P(M)}=\dfrac{\dfrac{6}{11}\cdot 0{,}5}{\dfrac{9}{22}}=\dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{22}}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

Sabiendo que un trabajador usa MacBook, la probabilidad de que sea desarrollador es $\frac{2}{3}$, aproximadamente 0,6667.