Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx$, encuentra el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y la ecuación de la recta tangente a la función en $x=0$ es $y=x$. (1,5 puntos)

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx}\textbf{, encuentra el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ y la ecuación de la recta tangente a la función en } \boldsymbol{x=0}\textbf{ es } \boldsymbol{y=x}\textbf{. (1,5 puntos)}$

El enunciado da tres condiciones, una por cada parámetro. Empezamos calculando la derivada, que hará falta en dos de ellas.

$f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c$

La recta tangente en $x=0$ es $y=x$, cuya pendiente es 1, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f'(0)=c=1$

Que la función tenga un extremo relativo en $(-1,0)$ significa que pasa por ese punto y que allí la derivada se anula. De la primera condición:

$f(-1)=1-a+b-c=0 \Rightarrow 1-a+b-1=0 \Rightarrow b=a$

Y de la segunda:

$f'(-1)=-4+3a-2b+c=0 \Rightarrow -4+3a-2b+1=0 \Rightarrow 3a-2b=3$

Sustituimos $b=a$ en esta última ecuación:

$3a-2a=3 \Rightarrow a=3 \Rightarrow b=3$

Los parámetros son $a=3$, $b=3$ y $c=1$, de modo que la función es $f(x)=x^4+3x^3+3x^2+x$.