Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función

$R(x)=\begin{cases} -(x+(t-3))^2+(t+27) & \text{si } 0\le x\le 3\\[4pt] -\dfrac{1}{3}x^3-tx^2+5x-3 & \text{si } x>3 \end{cases}$

a) ¿Para qué valores de $t$ la rentabilidad del fondo, $R(x)$, es una función continua en $x=3$? (0,5 puntos)

b) Para $t=-2$, ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0,5 puntos)

c) Para $t=-2$, determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ la rentabilidad del fondo, } \boldsymbol{R(x)}\textbf{, es una función continua en } \boldsymbol{x=3}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Cada trozo es un polinomio, luego es continuo en su intervalo. Para que $R$ lo sea también en $x=3$ los dos valores laterales deben coincidir.

$\lim_{x\to 3^-}R(x)=R(3)=-(3+t-3)^2+(t+27)=-t^2+t+27$

$\lim_{x\to 3^+}R(x)=-\dfrac{27}{3}-9t+15-3=3-9t$

Igualamos ambos valores:

$-t^2+t+27=3-9t \Rightarrow t^2-10t-24=0$

$t=\dfrac{10\pm\sqrt{100+96}}{2}=\dfrac{10\pm 14}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=12\\ t=-2 \end{cases}$

La rentabilidad es una función continua en $x=3$ para $t=12$ y para $t=-2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=-2}\textbf{, ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0,5 puntos)}$

A partir del tercer año la rentabilidad la da el segundo trozo, que con $t=-2$ queda:

$R(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+5x-3,\qquad x>3$

Buscamos los puntos críticos derivando e igualando a cero.

$R'(x)=-x^2+4x+5$

$R'(x)=0 \Rightarrow x^2-4x-5=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=5\\ x=-1 \end{cases}$

Se descarta $x=-1$ por no pertenecer al intervalo $x>3$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$R''(x)=-2x+4 \Rightarrow R''(5)=-6<0$

Al ser negativa, en $x=5$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$R(5)=-\dfrac{125}{3}+50+25-3=\dfrac{91}{3}\approx 30{,}33$

La mayor rentabilidad del fondo a partir del tercer año se alcanza a los 5 años y vale aproximadamente 30,33.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=-2}\textbf{, determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0,5 puntos)}$

Hacemos un estudio del signo de $R'(x)=-x^2+4x+5$ en $x>3$, donde el único punto crítico es $x=5$.

$R'(4)=-16+16+5=5>0,\qquad R'(6)=-36+24+5=-7<0$



La rentabilidad del fondo crece entre el tercer y el quinto año, $(3,5)$, y decrece a partir del quinto, $(5,+\infty)$.