Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En la fase nacional de la Olimpiada de Matemáticas Española se reparten un total de 36 medallas, divididas en oro, plata y bronce. El número de medallas de bronce triplica a las medallas de oro y sabemos que, si dos de las medallas de plata se pasaran a la categoría de bronce, entonces la cantidad de medallas de bronce duplicaría la cantidad de medallas de plata.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de medallas de cada tipo se reparten. (0,75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de medallas de cada tipo se reparten. (0,75 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de medallas de oro, $y$ al de plata y $z$ al de bronce.

Se reparten 36 medallas en total:

$x+y+z=36$

El número de medallas de bronce triplica al de oro:

$z=3x$

Si dos medallas de plata pasaran a bronce habría $z+2$ de bronce y $y-2$ de plata, y las primeras duplicarían a las segundas:

$z+2=2(y-2)$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=36\\ z=3x\\ z+2=2(y-2) \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,75 puntos)}$

Aplicamos el método de sustitución llevando $z=3x$ a las otras dos ecuaciones.

$x+y+3x=36 \Rightarrow 4x+y=36 \Rightarrow y=36-4x$

$3x+2=2y-4 \Rightarrow 3x-2y=-6$

Sustituimos ahora $y=36-4x$ en la última ecuación:

$3x-2(36-4x)=-6 \Rightarrow 3x-72+8x=-6 \Rightarrow 11x=66 \Rightarrow x=6$

$y=36-4\cdot 6=12,\qquad z=3\cdot 6=18$

Comprobamos que las 36 medallas se reparten y que $18+2=20$ es el doble de $12-2=10$.

En la fase nacional se reparten 6 medallas de oro, 12 de plata y 18 de bronce.