Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de productos de papelería dispone de $270\ \text{m}^2$ de cartón y de 432 m de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan $0{,}20\ \text{m}^2$ de cartón y 0,30 m de cinta de goma y se vende a 2,10 € la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan $0{,}15\ \text{m}^2$ de cartón y 0,27 m de cinta de goma y se vende a 1,50 € la unidad.

a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)

b) Determina cuántas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de carpetas de tamaño folio e $y$ al número de carpetas de tamaño cuartilla. Ordenamos en una tabla el material que consume cada tipo de carpeta y el dinero que produce.

$$	$\text{Cartón (m}^2)$	$\text{Cinta (m)}$	$\text{Venta (€)}$ $\text{Folio } (x)$	$0{,}20x$	$0{,}30x$	$2{,}10x$ $\text{Cuartilla } (y)$	$0{,}15y$	$0{,}27y$	$1{,}50y$ $\text{Totales}$	$0{,}20x+0{,}15y$	$0{,}30x+0{,}27y$	$2{,}10x+1{,}50y$

La función objetivo es el beneficio de la venta, que se quiere hacer máximo:

$B(x,y)=2{,}10x+1{,}50y$

El cartón disponible son $270\ \text{m}^2$:

$0{,}20x+0{,}15y\le 270 \Rightarrow 4x+3y\le 5400$

La cinta de goma disponible son 432 m:

$0{,}30x+0{,}27y\le 432 \Rightarrow 10x+9y\le 14400$

Y el número de carpetas no puede ser negativo. Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 4x+3y\le 5400\\ 10x+9y\le 14400\\ x\ge 0,\ y\ge 0 \end{cases}$

Para dibujar el recinto representamos las rectas frontera por sus cortes con los ejes:

$4x+3y=5400 \Rightarrow (1350,0)\ \text{y}\ (0,1800)$

$10x+9y=14400 \Rightarrow (1440,0)\ \text{y}\ (0,1600)$

Como las desigualdades son del tipo «menor o igual» y el origen las cumple las dos, la región factible es la zona coloreada.



$\textbf{b) Determina cuántas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo. (0,25 puntos)}$

El vértice $B$ es el punto donde se cortan las dos restricciones. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y le restamos la segunda:

$\begin{cases} 12x+9y=16200\\ 10x+9y=14400 \end{cases} \Rightarrow 2x=1800 \Rightarrow x=900$

$4\cdot 900+3y=5400 \Rightarrow 3y=1800 \Rightarrow y=600$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo está en un vértice, así que valoramos el beneficio en los cuatro:

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(1350,0)=2{,}10\cdot 1350=2835\ \text{€}$

$B(900,600)=2{,}10\cdot 900+1{,}50\cdot 600=1890+900=2790\ \text{€}$

$B(0,1600)=1{,}50\cdot 1600=2400\ \text{€}$

El beneficio máximo se consigue fabricando 1350 carpetas de tamaño folio y ninguna de tamaño cuartilla, y asciende a 2835 €.